Система уравнений методом интервалов

Создайте Ваш сайт учителя Видеоуроки Олимпиады Подготовка к ЕГЭ. Поэтому исследование метода интервала для решения уравнений и неравенств с несколькими модулями актуально. В ходе написания исследовательской работы мною были раскрыты многие задачи, которые можно решить, используя метод интервала. Самой важной задачей является решение уравнений и неравенств с несколькими модулями. В ходе проведённой мною работы по решению неравенств и уравнений с несколькими модулями, используя метод интервала, я обнаружила, что скорость решения задач увеличилась в два раза.

Это позволяет значительно ускорить ход рабочего процесса и снизить временные затраты. В процессе работы над исследованием я приобрела опыт при решении уравнений и неравенств с несколькими модулями.

Думаю, что полученные мною знания позволят мне избежать ошибок при решении. Методы решения задач с несколькими модулями…………………… Задачи с несколькими модулями. Метод интервалов в задачах с модулями……………………………………… Уравнения и неравенства, содержащие модули…………………………. Понятие абсолютной величины является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел.

Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ. Данную работу можно использовать в качестве учебного пособия для учащихся и методического пособия для учителя. По определению, модуль, или абсолютная величина, неотрицательного числа a совпадает с самим числом, а модуль отрицательного числа равен противоположному числу, то есть — a: Здесь разбор случаев устраивать не нужно, потому что абсолютная величина числа всегда неотрицательна, и значит, данное уравнение не имеет решений.

Во втором случае x. Это уравнение свелось к неравенству, и ответом является целый промежуток луч. Разобранные ранее примеры позволяют сформулировать правила освобождения от знака модуля в уравнениях. Поясним используемые здесь обозначения. Фигурные скобки обозначают системы, а квадратные — совокупности. Решения системы уравнений — это значения переменной, одновременно удовлетворяющие всем уравнениям системы.

Решениями совокупности уравнений являются все значения переменной, каждое из которых есть корень хотя бы одного из уравнений совокупности. Два уравнения равносильны, если любое решение каждого из них является и решением другого, иначе говоря, если множества их решений совпадают.

Если уравнение содержит несколько модулей, то от них можно избавляться по очереди, пользуясь приведенными правилами. Но обычно есть более короткие пути. Мы познакомимся с ними позже, а сейчас рассмотрим решение самого простого из таких уравнений:.

Эта равносильность следует из того очевидного факта, что если равны модули двух чисел, то сами числа либо равны, либо противоположны. Избавимся от модуля двумя описанными выше способами:.

Как видим, в обоих случаях приходится решать те же самые два квадратных уравнения , но в первом случае их сопровождают квадратные неравенства , а во втором — линейное.

Поэтому второй способ для данного уравнения проще. Решая квадратные уравнения, находим корни первого , оба корня удовлетворяют неравенству. Дискриминант второго уравнения отрицателен, следовательно, уравнение корней не имеет. Мы уже знаем, что рассматривать целых 4 варианта распределения знаков выражений под модулями здесь не нужно: Первое уравнение совокупности решений не имеет его дискриминант отрицателен , второе уравнение имеет два корня.

Есть два основных подхода к решению уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей. Можно назвать их "последовательным" и "параллельным".

Сейчас познакомимся с первым из них. Его идея в том, что сначала один из модулей изолируется в одной части уравнения или неравенства и раскрывается одним из описанных ранее методов. Затем то же самое повторяется с каждым из получившихся в результате уравнений с модулями и так продолжается, пока мы не избавимся ото всех модулей. Уединим второй модуль и раскроем его, пользуясь первым способом, то есть просто определением абсолютной величины:.

Наконец, решаем получившиеся четыре линейных уравнения и отбираем те их корни, которые удовлетворяют соответствующим неравенствам. Можно снять сразу все модули в уравнении или неравенстве и выписать все возможные сочетания знаков подмодульных выражений.

Если в уравнении n модулей, то вариантов будет 2 n , ибо каждое из n выражений, находящихся под модулем, при снятии модуля может получить один из двух знаков — плюс или минус. В принципе, нам надо решить все 2 n уравнений или неравенств , освобожденных от модулей. Но их решения будут и решениями исходной задачи, только если они лежат в областях, где соответствующее уравнение неравенство совпадает с исходным.

Эти области определяются знаками выражений под модулями. Следующее неравенство мы уже решали, так что вы можете сравнить разные подходы к решению. Лишь первый и третий из этих корней удовлетворяют соответствующим неравенствам, а значит, и исходному уравнению. Аналогично можно решать любые задачи с несколькими модулями. Но, как всякий универсальный метод, этот способ решения далеко не всегда оптимален. Ниже мы увидим, как его можно усовершенствовать.

Они образуют четыре промежутка. Так же можно решать любую задачу с несколькими модулями. В частности, если все выражения под модулями рациональны , то достаточно отметить на оси их корни, а также точки, где они не определены, то есть корни их знаменателей. Отмеченные точки и задают искомые промежутки знакопостоянства. Точно так же мы действуем при решении рациональных неравенств методом интервалов.

И описанный нами метод решения задач с модулями имеет то же название. Найдем нули функции , откуда. Решаем задачу на каждом интервале:. Выражения, стоящие под знаком абсолютной величины обращаются в ноль при. Соответственно нам нужно рассмотреть три случая:. Нули подмодульных выражений разбивают числовую ось на несколько интервалов. Расставляем знаки подмодульных выражений на этих интервалах.

На каждом интервале раскрываем модули и решаем полученное уравнение. После нахождения корня проверяем, чтобы он принадлежал интервалу, на котором мы в данный момент работаем. В этом случае ответ. Общее решение неравенства объединение трех полученных ответов. Таким образом, для решения уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей, удобно использовать метод интервалов.

Для этого надо найти нули вех подмодульных функций, обозначить их на ОДЗ уравнения и неравенств. В последнее время в математике широко используются методы для упрощения решения задач, в частности метод интервала, позволяющий значительно ускорить расчеты. В ряде случаев при решении уравнений с модулем, возможно, решать уравнения по правилам, а иногда удобнее воспользоваться методом интервала.

При решении уравнений и неравенств, содержащих модуль, метод интервалов является более наглядным и сравнительно более простым.

Решение уравнений и неравенств с модулем И. Изд-во Факториал , Уравнения и неравенства с модулями и методика их решения. Решение уравнений и неравенств. Изд-во Легион - с. Подготовка к ОГЭ по математике 9 класс.

Решение неравенств методом интервалов

Если вы хотите увидеть все свои работы, то вам необходимо войти или зарегистрироваться. Меню Главная Дошкольное образование Начальные классы Астрономия Биология География Информатика Математика Химия Физика Русский язык Английский язык История Обществознание Литература Музыка Технология мальчики Технология девочки Физкультура ИЗО МХК ОБЖ Внеурочная работа Немецкий язык ОРК Директору Завучу Классному руководителю Психологу Логопедия Коррекционная школа Всем учителям Прочее.

Последние дни регистрации на олимпиады "Декабрь ". Готовые комплекты видеоуроков и тестов для работы учителя! Содержание Введение…………………………………………………………………………… … ….

Изучить литературу по данной теме. Рассмотреть решения неравенств и уравнений с несколькими модулями. Выявить наиболее эффективный способ решения. Модуль числа всегда неотрицателен. Запишем решение этих простейших уравнений в общем виде: Решение уравнений с модулем с помощью систем. Мы познакомимся с ними позже, а сейчас рассмотрим решение самого простого из таких уравнений: Избавимся от модуля двумя описанными выше способами: Уединим второй модуль и раскроем его, пользуясь первым способом, то есть просто определением абсолютной величины: К полученным двум уравнениям применяем второй способ освобождения от модуля: Рассмотрим 4 возможных набора знаков выражений под модулями.

Решаем задачу на каждом интервале: Итак, данное уравнение не имеет решений. Соответственно нам нужно рассмотреть три случая: Уравнения и неравенства, содержащие модули. Заключение В последнее время в математике широко используются методы для упрощения решения задач, в частности метод интервала, позволяющий значительно ускорить расчеты. Голышева Евгения Викторовна Дата: Похожие файлы Рабочая программа по математике алгебра и начала анализа 11 класс.

Рабочая программа по курсу математика для 11 класса. Пожалуйста, введите ваш Email. Личный сайт учителя и сертификат бесплатно!!! Удобный поиск материалов для учителей.

наверх